现在考虑
考虑不等式方程
由 u 在 Ω¯ 上最大值在边界达到(非负最大值) 设 x0∈∂Ω 是 u 正的最大值点,则 ∂nu(x0)⩾0 于是 ∂nu(x0)+α(x0)u(x0)>0,矛盾. 故 u⩽0 .
如果 u∈C2(Ω)∩C1(Ω),是 (2.42) 的解, F=max|f|,G=max|g|,则
不妨设 0∈Ω,令 w=u−z,则
由
则
令 z(x)=F2n(d2−|x|2)+Fdnα0+Gα0, 则 −Δz+c(x)z⩾F, x∈Ω ∂nz+α(x)z 且
因此,−Δw+C(x)w⩽f−F⩽0,∂nw+α(x)w⩽g−G⩽0 由极大值原理,w 在 x0∈∂Ω 达到非负最大值 ⟹∂nw(x0)⩾0 若 w(x0)>0,由边界条件 ∂nw(x0)=−α(x)w(x0)⩽−α0w(x0)<0,矛盾。
因此 u(x0)⩽0 即 w(x)⩽0,∀x∈Ω¯, 故 u(x)⩽z(x)⩽F2nd2+Fdα0n+Gα0⩽C(F+G) 类似可证 −u⩽C(F+G) 即证。
同一个方程的两个解的差满足方程
max|u|⩽0,得 u=0。